dikiy-donald.ru

Стационарное течение миопии
 
 
      В начало Новости Мануальная терапия О сайте      
 
 
 
Навигация
  • Гипертония
  • Терапия
  • ЛФК
  • Радикулит
  • Сколеоз
  • Флеболог
  • Мануальная терапия
  • Омоложение
  •  

    Новое:
    11.07.2015 Лечебные свойства клевера при гипертонии

    27.06.2015 Гамаш пилинг для лица-кларинс

    17.07.2015 Глюкометры по сахару крови

     

    Ссылки по теме
    Вегетососудистая дистония по смешанному типу симптомы
    Как можно почистить печень народными средствами
    Клевер лечение тахикардии
    Веган артрит
     

     
    Стационарное течение миопии
         
         
     

    Механика сплошных сред. Лекции.

    Лекция 3

    Стационарное течение жидкости. Уравнение Бернулли и его следствия. Понятие о дивергенции вектора. Условие несжимаемости. Уравнения Эйлера. Течение сжимаемых газов. Критерий несжимаемости. Распространение возмущений. Скорость звука. Сверхзвуковые потоки.

    Стационарное одномерное течение несжимаемой жидкости.

    Равновесие жидкостей и особенно газов, рассмотренное в предыдущей лекции, соответствует идеальным внешним условиям и поэтому на практике реализуется крайне редко. Обычно жидкости при внешнем воздействии приходят в движение, при этом давление и скорость ее частиц, вообще говоря, могут сложным образом меняться от точки к точке внутри объема текущей жидкости.
    Поясним сказанное примером. Подключим горизонтальную стеклянную трубку переменного сечения при помощи резинового шланга к водопроводному крану (рис. 3.1). Если напор воды остается постоянным, то течение воды можно считать установившимся (или стационарным). В этом случае масса воды M, протекающая в единицу времени через сечения с площадями S1 и S2 будет одинаковой, поэтому имеет место равенство
    $m = \rho_1 v_1 S_1 = \rho_2 v_2 S_2$ (3.1)

    где ( $\rho$и v - плотность и скорость жидкости в этих сечениях. Если жидкость несжимаема $(\rho_1 = \rho_2)$, то условие (3.1) переходит в условие постоянства объема жидкости (условие несжимаемости), протекающего через сечения S1 и S2:
    Рис. 3.1.

    Следует отметить, что условия постоянства массы (3.1) и несжимаемости жидкости (3.2) записаны для случая, когда скорости всех частиц жидкости одинаковы в поперечном сечении трубки.
    Для графического изображения течения жидкости удобно использовать линии тока - линии, касательная к которым в каждой точке совпадает с вектором скорости частицы (рис. 3.2). Легко видеть, что в сечении S скорости частиц различны, и объем протекающей жидкости через это сечение не может быть записан в виде (3.2).
    Рис. 3.2.

    Далее отметим, что по мере приближения к узкому сечению S2 частица, деформируясь, ускоряется (в силу 3.2), а при удалении от S2 - замедляется. Эти ускорения могут обеспечить лишь силы давления fi = - pin, показанные на рис. 3.2 маленькими стрелками. Из рисунка ясно, что давление в жидкости по мере приближения к S2 падает. А затем возрастает. Это легко проверить, если сравнить уровни h1 и h2 жидкости в манометрических стеклянных трубках, впаянных в горизонтальную трубку вблизи сечений S1 и S2. Поскольку $p_1 = \rho g h_1, p_2 = \rho g h_2$, то p1 > p2, т.к. h1> ;h2. На рис. 3.3 качественно изображено распределение скоростей и давлений вдоль оси трубки (см. рис. 3.2).
    Рис. 3.3.

    Для количественного описания течения жидкости разобьем поток жидкости по трубе на элементарные потоки по воображаемым трубкам тока, образуемых семейством линий тока. В поперечном сечении трубки тока скорость частиц приблизительно одинакова, и это обстоятельство существенно облегчаем анализ течения жидкости.
    Найдем количественную связь между скоростью и давлением, качественно отображенную на рис. 3.3. При прямолинейном течении частиц воды вдоль осевой трубки тока сумма сил, приложенных к единице объема (см. 2.5), обеспечивают его ускорение. В соответствии со 2-м законом Ньютона можно записать
    $\rho\frac{dv_x}{dt} = -\frac{\partial p}{\partial x} + F_x,$ (3.3)

    где Fx - плотность, имеющая размерность Н/м3. Отметим, что в уравнение (3.3) не входят силы вязкости, зависящие от скорости движения элемента жидкости. Впоследствии мы учтем их влияние и выясним условия, при которых ими можно пренебречь. Изменение скорости частицы dvx и связанное с ним ускорение может происходить как вследствие стационарного движения частицы от широкого к узкому (или наоборот) сечению, так и при нестационарном изменении скорости течения во времени (например, при медленном увеличении или ослаблении напора воды с помощью крана). Поэтому в общем случае скорость частиц является функцией не только координаты x, но и времени t:
    $dv_x = \frac{\partial v_x}{\partial t}dt + \frac{\partial v_x}{\partial x}dx,$ (3.4)

    где dx=vxdt - расстояние, пройденное частицей за время dt. Подставляя (3.4) в (3.3), приходим к уравнению Эйлера
    $\rho \left( \frac{\partial v_x}{\partial t} + v_x \frac{\partial v_x}{\partial x}\right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + F_x$ (3.5)

    описывающее одномерное течение несжимаемой невязкой жидкости. При стационарном течении жидкости по горизонтальной трубе скорость не зависит от времени $\left( \frac{\partial v_x}{\partial t} =0 \right) $, внешние силы Fx=0, и уравнение Эйлера принимает простой вид
    $\rho v_x \frac{dv_x}{dx}=-\frac{dp}{dx}.$ (3.6)

    Здесь вместо $\partial / \partial x$ используется символ полной производной d/dx.
    Учитывая, что $v_x \frac{dv_x}{dx}=\frac{d}{dx}\left( \frac{v_x^2}{2} \right), \rho = {\rm const},$ перепишем (3.6) в виде
    $\frac{d}{dx}\left( \frac{\rho v_x^2}{2} + p \right)=0$, или $\frac{\rho v_x^2}{2} + p = {\rm const}.$ (3.7)

    Равенство (3.7), устанавливающее связь между давлением и скоростью, является частным случаем уравнения Бернулли. Константа, входящая в это уравнение, определяется из значений давления и скорости в каком-либо сечении трубки тока.
    Используя это уравнение, определим массу воды (расход), проходящую за единицу времени через сечение трубки, изображенной на рис. 3.2. В соответствии с уравнением (3.7) давления и скорости в сечениях S1 и S2 связаны соотношением
    $p_1 + \frac{\rho v_1^2}{2}=p_2 + \frac{\rho v_2^2}{2}$ (3.8)

    Помимо этого, искомый расход воды определяется равенством (3.1):
    $m=\rho v_1 S_1= \rho v_2 S_2$ (3.9)

    Поскольку давление $p_1 = \rho g h_1$ и $p_2 = \rho g h_2$ и определяются по показаниям h1 и h2 манометрических трубок, то решая систему уравнений (3.8) и (3.9) относительно m, находим
    $m=\sqrt{\frac{2\rho (p_1 - p_2)}{S_2^{-2} - S_1^{-2}}}$ (3.10)

    Для измерения расхода воды на практике применяются водомеры, основу которых составляет труба переменного сечения, оснащенная манометрами для измерения давлений p1 и p2 в известных сечениях S1 и S2.

    Течение жидкости в поле силы тяжести. Уравнение Бернулли.

    Рассмотрим задачу о течении жидкости вдоль произвольных трубок тока, могущих составлять произвольный переменный угол с горизонтом. Одна из наших криволинейных трубок показана на рис. 3.4. Если ввести криволинейную координату $\ell$, совпадающую с осью трубки тока, то при стационарном течении жидкости ее скорость и давление являются функциями этой координаты. Проектируя силу тяжести на ось $\ell$, запишем уравнение Эйлера (3.5) в виде:
    $\rho v \frac{dv}{d\ell}=- \frac{dp}{d\ell}+ \rho g \cos \alpha.$ (3.11)

    Здесь v - скорость частиц, направленная вдоль оси трубки.
    Рис. 3.4.

    Если элемент жидкости сместился вниз на расстояние $d\ell$, то он сместился (опустился) на высоту dh<0, при этом $\cos \alpha= - \frac{dh}{d\ell}$. Подставляя значение $\cos \alpha$ в (3.11) и используя тождество $v\frac{dv}{d\ell}=\frac{1}{2}\frac{d}{d\ell}v^2$, находим
    $\rho \frac{d}{d\ell}\frac{v^2}{2}+\frac{dp}{d\ell}+\rho g \frac{dh}{d\ell} =0$ (3.12)

    Для несжимаемой жидкости $\rho$=const, и последнее равенство трансформируется к виду
    $\frac{d}{d\ell}\left(\frac{\rho v^2}{2} +p + \rho gh \right) =0$ (3.13)

    Интегрируя (3.13) вдоль трубки тока, получаем уравнение Бернулли
    $\frac{\rho v^2}{2}+p+\rho gh = {\rm const}.$ (3.14)

    Это уравнение описывает стационарное течение несжимаемой жидкости (иногда употребляют термин "идеальной жидкости"), и играет фундаментальную роль в гидродинамических исследованиях. Если нам известно давление p1, скорость v1 в некотором сечении трубки тока, находящемся на высоте h1, то в любом другом сечении на высоте h величины p и v связаны соотношением
    $p+\frac{\rho v^2}{2}+\rho gh = p_1+ \frac{\rho v_1^2}{2}+\rho gh_1 $ (3.15)

    Давление p - это статическое давление, которое получит манометр, находящийся в жидкости и движущийся вместе с нею, $\frac{\rho v^2}{2}$ - это динамическое давление, смысл которого будет раскрыт позднее. Заметим, что в покоящейся жидкости равенство (3.15) описывает гидростатическое распределение давлений.
    Уравнение Бернулли может быть получено с использованием закона сохранения энергии. В отсутствие сил вязкости, приращение суммарной (потенциальной и кинетической) энергии массы воды, находящейся в трубке тока между сечениями S1 и S2 (рис. 3.5) равно работе сил давления. Из рисунка видно, что за время dt течение жидкости эквивалентно по конечному результату перемещению элемента массой $dm=\rho S_1 v_1 dt= \rho S_2 v_2 dt$ с высоты h1 на высоту h2 и одновременному повышению его скорости от величины v1 до величины v2.
    Рис. 3.5.

    Приращение кинетической энергии равно:
    $dE_K=dm \left(\frac{v_2^2}{2} - \frac{v_1^2}{2}\right)=\frac{1}{2} \rho \left( S_2 v_2^3 -S_1 v_1^3 \right) dt.$
    Приращение потенциальной энергии
    $dE_П=dm \cdot g (h_2 - h_1) = \rho g \left( S_2 v_2 h_2 -S_1 v_1 h_1\right) dt.$
    Работа сил давления
    dA=p1S1v1dt - p2S2v2dt.
    Записывая уравнения энергетического баланса в виде
    dEK+dEП=dA,
    получаем уравнение Бернулли:
    $p_1+\frac{\rho v_1^2}{2}+\rho gh_1 = p_2+ \frac{\rho v_2^2}{2}+\rho gh_2 $ (3.16)

    Проведенный энергетический вывод уравнения Бернулли делает более понятным физический смысл входящих в него членов. Так, статическое давление p численно равно работе сил давления, совершаемых над единичным объемом жидкости; динамическое давление $\frac{\rho v^2}{2}$ есть кинетическая энергия единицы объема, а величина $\rho gh$ является потенциальной энергией единичного объема в поле силы тяжести.
    Применим уравнение Бернулли к расчету течения жидкости в ряде интересных физических задач.

    Назад | Вперед


    Посмотреть комментарии[3]

    Источник: http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1164708&uri=l...

     
         

     
     
     
     
         
      © 2014 dikiy-donald.ru - Стационарное течение миопии